Пусть f (x, y, z) - некоторая функция , а S - замкнутая поверхность, ограничивающая объём V. На отрезке 1-2 (рис. 4), параллельном оси X, f - является функцией одного аргумента x. Интегрируя вдоль этого отрезка получим:

где и - значения функции f на концах рассматриваемого промежутка.

Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 1 2. Пусть dσ - площадь поперечного сечения его (величина положительная). Умножая предыдущее соотношение на dσ. Так как dσdx есть элементарный объём dV, заштрихованный на рисунке, то в результате получится:

,

где dV – часть объёма V, вырезаемого из него поверхность цилиндра. Пусть dS1 и dS2 эле -ментарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности S, а 1

и 2

–

единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда:

dσ = d2 2х = - d1 1х,

а поэтому:

или короче: где поверхностный интеграл распространён на сумму площадок dS1 и dS2. Весь объём V можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим:

(35)

Интеграл справа распространён по всему объёму V, справа – по поверхности S, ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно написать для осей Y и Z.

Возьмём теперь произвольный вектор и применим к его компонентам соотношение (35). Получим:

и аналогично для компонент Ay и Az . Складывая эти соотношения, найдём:

или:

Эту формулу Остроградского – Гаусса можно также записать в виде:

Смысл её заключается в том, что полный поток вектора через некоторую поверхность S равен суммарной алгебраической мощности источников, порождающих векторное поле.

Если объём V бесконечно мал, то величина div внутри него может считаться постоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к пределу V→ 0, получим:

Предельный переход надо понимать в том смысле, что область V должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина, стоящая в правой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можно принять за исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладает преимуществом, потому что оно инвариантно, т.е. никак не связано с выбором координат.