Векторная диаграмма

Колебанияминазываются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.

Сло­жение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится нагляд­ным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.

Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x. Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол α. Если привести этот вектор во вращение с угло­вой скоростью ω0, то проекция конца вектора будет перемещать­ся по оси x в пределах от —А до +A, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с ам­плитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с на­чальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого рав­на амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний.

Рассмотрим сложение двух гармонических коле­баний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебание будет суммой колеба­ний х1 и x2, которые определяются функциями

, (1)

Представим оба колебания с помощью векторов A

1

и А

2

. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А

. На рисунке вид­но, что проекция этого вектора на ось x равна сум­ме проекций складываемых векторов:

Поэтому, вектор A

представляет собой резуль­тирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ω0, как и векторы А1и А2

, так что сумма x1 и х2 является гармоническим колебанием с частотой (ω0, амплитудой A и начальной фа­зой α. Используя теорему косинусов получаем, что

(2)

Также, из рисунка видно, что

(3)

Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.

Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.

Представим две взаимно перпен­дикулярные векторные величины x

и y

, изменяющие­ся со временем с одинаковой частотой ω по гармони­ческому закону, то

(1)