Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40) получаем

(– ¶f0 /¶E)vk×eE = – (¶f0 /¶t)]scatt = ò(fk– fk¢)Q(k,k¢)dk¢= ò(gk– gk¢)Q(k,k¢)dk¢ (49)

Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции gk.

Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение:

– ¶fk /¶t]scatt = gk/t (50)

Тем самым мы вводим время релаксации t. При выключении поля любое отклонение gk от равновесного распределения будет затухать по закону

– ¶gk /¶t = gk/t, (51)

или

gk(t) = gk(0)e – t / t . (52)

Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим

gk = (– ¶f0 /¶E) tvk×eE (53)

Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока

(54)

Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что

òf0kevk(r)dk º 0,

использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k-пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии.

В металле функция (– ¶f0 /¶E) ведет себя как d-функция от (E – z), поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким образом,

(55)

Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой

J = s×E, (56) где s – тензор. Получим

(57)

Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом тензор электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х, подынтегральное выражение в (55) есть

(vk vk × E) = v2xE, (58) что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v2E. Поэтому

(59)

где мы ввели длину свободного пробега

L = tv. (60)

Это есть основная формула для электропроводности.

Интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядит функция распределения fk, заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция gk велика только вблизи поверхности Ферми.

Фиг.97. а – смещенная поверхность Ферми; б – смещенное распределение Ферми.

Небольшая добавка появляется с той стороны, где vk×eE>0, т. е. там, где электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с противоположной стороны.

Фактически по теореме Тейлора можно написать

(61)

Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k-пpoстранстве на величину (et/ħ)E. Это несколько неверная интерпретация. В действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в глубине сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения электронам в таких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются примесью.

Отметим, однако, что электропроводность не зависит от температуры (если не считать возможной температурной зависимости t). Эта же формула справедлива при T = 0, когда распределение Ферми имеет совершенно четкую границу. Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение жесткой поверхности Ферми.

Заметим также, что выражение (61) можно представить в виде

fk = f0(Ek + etvkE), (62)

как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась величина

dEk = etvkE. (63)

Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы место, если бы электрон со скоростью vk двигался в поле E в течение интервала времени t. Это замечание лежит в основе кинетического метода решения подобных задач. Добавочная энергия, приобретаемая в промежутках между столкновениями с примесями, соответствует наличию дрейфовой скорости dv в направлении поля; именно

dv(¶E/¶v) = evEt, (64) или для классической частицы массы m

dv(¶E/¶v) = evEt / mv. (65)

Пусть концентрация частиц есть n, тогда полная плотность тока равна

J = nedv, (66)

и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим

s = ne2t/m. (7.33)

Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (67) и (59) эквивалентны; в металле последняя формула принципиально значительно лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств электронов на уровне Ферми, а не от полной концентрации их. Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием небольшой группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми, а не высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость.