Основной недостаток метода моментов состоит в том, что важный вклад в значение момента (вклад тем существеннее, чем выше момент) дают крылья кривой, которые на практике не наблюдаются. Необходимо из вычисленных моментов линии магнитного резонанса с центром на ларморовской частоте w =w0 исключить вклады от сопутствующих линий на частотах w = 0, 2w0, 3w0 о которых упоминалось ранее. Легко видеть, что, несмотря на их малую интенсивность (благодаря удаленности от центральной частоты w0) вклад во второй момент сравним с вкладом от главной линии и тем больше, чем выше порядок момента. Для исключения вкладов от них следует рассматри­вать в гамильтониане возмущения ħH1 ответственного за уширение, только его секулярную часть ħH¢0, которая коммутирует с H0 и, следова­тельно, не может отвечать перемешиванию состояний с различными пол­ными М; такое смешивание является причиной появления побочных линий. Таким образом, сокращение дипольного гамильтониана до его секулярной части

не только упрощает вычисление моментов, но и делает его более точным.

Прежде чем начать расчет, отметим, что линия магнитного резонанса симметрична относительно центральной частоты w0. Убедимся в правиль­ности этого утверждения. Если | а > и | b > — два собственных состояния ħ(H0+H¢1) с разностью энергии ħ(Еа — Еb) = ħw0 + dab, то два состоя­ния | а~ > и | b~ >, полученные из | а > и | b > соответственно путем пово­рота всех спинов в обратном направлении, будут также собственными состояниями ħ(H0+H¢1) с ħ(Еb~ – Еa~) = ħw0 + dab. Таким образом, каждо­му переходу с частотой w0 + u соответствует переход равной интенсивности с частотой w0 – u. Если f(w) — функция формы, то h (u) = f(w0 + u)— четная функция u. Поскольку моменты кривой пропорциональны про­изводным в начале координат от их фурье-преобразования, мы будем применять для их вычисления формулу (13). Вследствие узости линии ядерного магнитного резонанса можно пренебречь изменением величины w в пределах ширины линии и предположить, что форма линии описывается c¢¢(w)/w, так же как и c¢¢(w). Тогда, поскольку f(w) — нормированная функция формы, (13) может быть переписано в виде

f(w) = A∫ G(t) cos wt dt, (IV.26)

где постоянная A определяется из условия нормировки f(w), а опреде­ленная ранее четная функция G (t) равна Sp{Mx(t)Mx}. Обратно

G(t) = 2/(pA)∫ f(w) cos wt dw, (IV.27)

Согласно вышеизложенному, в выражении

Mx(t) = еiHtMxе–iHt.

следует вместо H = H0+H1 подставить H = H0+H¢1 что значи­тельно упрощает вычисления. Поскольку H0 и H¢1 коммутируют, можно записать

exp{i(H0+H¢1)t} = exp(iH0t) exp(iH¢1t).

Учитывая, что зеемановский гамильтониан ħH0 равен ħw0Iz функцию G (t) можно переписать в виде

(IV.28)

Шпур произведения операторов инвариантен относительно циклической перестановки, поэтому

(IV.28a)

В этом выражении оператор exp(iw0Izt) определяет поворот на угол w0t вокруг оси z, и, следовательно, можно записать

(29)

Легко видеть, что второй член в (29) равен нулю, так как поворот спинов на 180°, например вокруг оси ох, не изменяет H¢1 и Mx но преоб­разует Mу в – My.

Заменяя в (27) G (t) на G1(t)cosw0t, где

G1(t)=Sp{еxp(iH‘1t)Mxе(–iH‘1t)Mx}

называется сокращенной функцией автокорреляции, и вводя обозначение

h (u) = f(w0 + u),

получаем

Заменяя нижний предел на – ¥, что допустимо для узких линий, найдем

Поскольку h (и) является четной функцией, второй интеграл равен нулю и

G1(t)=Sp{еxp(iH‘1t)Mxе(–iH‘1t)Mx}

(30)

Различные моменты кривой распределения h (и) относительно резонансной частоты w =w0 определяются выражением

Нечетные моменты равны нулю, а четные определяются формулой

(31)

Таким образом, для вычисления моментов резонансной кривой достаточно разложить G1 (t) в выражении (30) по степеням t. При этом коэффициенты разложения представляют собой шпуры от операторов, которые являются полиномами от H¢1 и Mx .