(68.13) Если бы мы еще удержали индекс k, то полная нумерация для c была бы c . Уравнение (68.13) есть приближенная (в нулевом приближении) волновая функция оператора Н в "Е° "-представлении. В "х"-представлении решение (68.13) запишется в виде

(68.13') Таким образом, каждому уровню E = E принадлежит теперь своя функция j , которая и является функцией нулевого приближения для возмущенной системы (H).

Отличие функций (68.13') от функций (68.1) состоит в том, что в (68.1) коэффициенты a произвольны (вплоть до условия ортогональности (68.2)), а коэффициенты c в (68.13) определены. Следовательно, функции нулевого приближения j представляют собой частный случай функций невозмущенной задачи j . Заметим, что если вычислить следующие приближения, то нетрудно убедиться, что условием пригодности метода теории возмущения будет опять-таки (67.13), которое теперь для вырожденного случая будет иметь вид

(68.14)

В #41 было показано, что задача нахождения собственных значений и собственных функций любого оператора L, заданного в матричной форме, сводится к решению уравнение (41.4) и (41.5). Понимания в (41.4) под оператором L оператор полной энергии H, мы должны учитывать, что в случае вырождения вместо каждого из индексов n и m в этой формуле теперь фигурирует по два индекса n, a, и m, b соответственно. В результате из (41.4) получаем уравнения

(68.15) которые совпадают с (68.5), так как

(68.16) Уравнение (41.5), соответствующее системе (41.4), в нашем случае запишется несколько сложнее (по форме), так как строки и столбцы матрица оператора Н нумеруются двумя квантовыми числами n и a. Именно, при каждом n имеется f разных значений a (f -кратное вырождение). Число f возрастает с увеличением n. Для первого уровня f = 1 термин "вырождение" не применяется.

Расположить элементы H в матрицу не представляет труда. Так, можно нумеровать какой-нибудь столбец парой (1), а следующие столбцы номерами (n, 2), (n, 3), …, (n, f ) затем пойдет столбцы с номерами (n + 1, 1) (n + 1, 2), …, до (n + 1, f )и т.д. Подобным же образом нумеруем строки (m, 1), (m, 2),…, (m, f ) и т.д. При такой же нумерации элементов матрицы H уравнение для определения собственных значений E может быть написано в следующем виде (это и есть уравнение (41.5) для нашего случая):

Обведенные прямоугольниками матричные элементы относятся к одному и тому же квантовому уровню. Так, например, в первом прямоугольнике (один элемент) ¾ к уровню k = 1, во втором к уровню k = 2, в третьем ¾ к k-му уровню. Если мы пренебрежем матричными элементами, относящимися к различным уровням, т.е. элементами типа H (m = n) (эти элементы, согласно (68.16), равны W ), то уравнение (68.17) упростится и примет вид.

Такую матрицу называют ступенчатой. Ее определитель (E) разбивается на произведение определителей меньшего ранга, именно,

Обозначая входящие сюда определители через (E), получим

(68.20) Уравнение (68.20) будет удовлетворено, если (E) = 0, или (E) = 0, или вообще (E) = 0. Корни этих уравнений и дают в первом приближении энергии первого, второго и вообще k-го уровня. Уравнение

(68.12) тождественно с уравнением (68.11), установленным другим путем.

В #41 мы объясняли, что задача нахождения собственных значений оператора может рассматриваться как задача о приведении к диагональному виду его матрицы. Из изложенного видно, что принимаемое в теории возмущения первое приближение заключается в том, что мы пренебрегаем матричными элементами, относящимися к разным уровням, и, таким образом, задачу о приведении к диагональному виду бесконечной матрицы сводим к приведению к диагональному виду конечных матриц (отдельных матриц в ступенчатой матрице (68.18)).