Вывод общей формулы для расщепления уровней водорода в электрическом поле читатель найдет во многих курсах. Мы ограничимся разбором примера, на котором легко выяснить всю сущность дела. Именно, мы рассмотрим расщепление второго квантового уровня атома водорода (n=2) (первый уровень не вырожден и потому не расщепляется). Таким образом, мы берем наиболее простой случай.

Указанному квантовому уровню принадлежат четыре состояния, характеризуемых следующими волновыми функциями:

(73.1) Согласно (25.16)

(73.2)

Далее, из (50.1) получаем радиальные функции: R

(73.3) где a ¾ радиус орбиты Бора, а и ¾ нормирующие множители. Пользуясь тем, что, x = r sin q cos j, y = r sin q sin j, z = r cosq, мы можем написать функции (73.1) в виде

(73.4) Наиболее общим состоянием, принадлежащим уровню E , будет

(73.5) Чтобы определить приближенно квантовые уровни и волновые функции при наличии внешнего электрического поля согласно теории возмущений, нужно решить уравнения (68.10), которые в нашем случае имеют вид

(73.6)

(73.7)

Из представления функций в форме (73.4) легко видеть, что все интегралы (73.7), за исключением двух, именно,

(73.8) в силу нечетности подыинтегральной функции относительно z, равны нулю. Интеграл же (73.8) легко вычисляется в сферических координатах. На основании (73.3) и (73.4) имеем Имеем Вводя переменную = r/a, получаем окончательно

(73.8') Напишем теперь систему уравнений (73.6) в явном виде. на основании сказанного о матричных элементах W , получаем

(73.6') Определитель этой системы (E)должен равняться нулю

(73.9) Отсюда находим корни E , E , E , E , E , которые равны энергии возмущенных уровней

(73.10) Таким образом, вырождение снято только частично четверной уровень расщепляется лишь на три разных. Картина этого расщепления приведена на рис. 54.

В результате вместо одной спектральной линии, отвечающей переходу E E (переход изображен на рисунке стрелкой), мы получим три линии, отвечающие переходам:

Это и есть явление расщепления спектральных линий в электрическом поле. (Заметим, что ради простоты мы рассчитали расщепление первой линии ультрафиолетовой серии Лаймана, на самом деле Штарк изучал расщепление серии Бальмера (видимый свет).

Из (73.10) и (73.8') следует, что разница E в уровнях энергии E и E равна , т.е. E , если дано в в/см. Расщепление маленькое, даже для . в/см, эв, а разность эв.

Вычислим теперь волновые функции j в нулевом приближении, относящиеся к уровням E , E , E и E . Для этого нужно найти амплитуды c из уравнений (73.6'). Подставляя в (73.6') E = E = E = E , находим, что c и c = 0, а c = c = 0. Следовательно, для несмещенных уровней наиболее общее состояния описывается функцией

(73.11) c и c произвольны (вырождение не снято). Подставляя в (73.6') E = E = E + W , получаем c = c = 0, c = c . Поэтому уровню E отвечает волновая функция

(73.12)

Подобным же путем вычисляем для E = E : c = c = 0 и c = ¾ c , и волновая функция имеет вид

(73.12') (Множитель взят из соображений нормировки j и j к единице). Таким образом, при наличии поля волновые функции стационарных состоянии будут j , j и j = j , j = j . Мы представляет читателю самому убедиться, что, как и должно быть по общей теории, матрица возмущения W в новом представлении

(73.13) будет диагональной матрицей

(73.14) Отсюда следует, что полученную картину расщепления уровней мы можем пояснить еще и так: уровни E и E не смещаются потому, что в состояниях j и j электрический момент равен нулю. Смещения же уровней E и E определяются тем, что в состояниях j и j момент равен 3ae и ¾3ae соответственно, т.е. в первом случае он ориентирован против поля, а во втором случае ¾ по полю.