Решение этого парадокса вытекает из квантовой механики, при­водящей к возможности туннельного эффекта через потенциальный барьер, разделяющий область притяжения (r < r0) от области отталкивания (r > г0).

В самом деле, тогда парадокс полностью решается: частица, находящаяся внутри ядра, может иметь энергию, меньшую, нежели высота барьера, и все же пройти через него. Частица же, про­летающая извне, ввиду малой прозрачности барьера лишь в очень редких случаях будет захватываться ядром (так как время пре­бывания ее около ядра очень - мало). Поэтому рассеяние α - частиц, падающих извне, будет обусловливаться кулоновскими силами, действующими за пределами барьера. Предположенная малая прозрачность барьера, согласуется с тем фактом, что периоды радиоактивного α - распада весьма велики.

Применяя теорию прохождения через потенциальные барьеры, легко облечь изложенную идею в математическую форму и найти выражение для константы радиоактивного распада λ - эта константа определяется следующим образом. Если имею­щееся к моменту времени t число нераспавшихся атомов N, то dN будет равно

(5.1)

Для вычисления константы распада λ мы можем применить кван­товую теорию просачивания частиц через потенциальные барьеры, изложенную в предшествующем параграфе. Согласно этой теории α - частицу внутри ядра следует рассматривать как находящуюся в «квазистационарном» состоянии. Обозначая скорость частицы в этом состоянии через υi,-, радиус барьера через r0 и его коэффициент прозрачности через D, мы получим

(5.2)

Остается вычислить D. Ввиду более сложной формы барьера вместо (4.24) мы получим (см. (1.24))

(5.3)

Из рис. 5.1 следует, что первая точка поворота r'1 есть г0 (радиус ядра), вторая (г2) определится из условия

(5.4)

Таким образом,

(100.5)

Вводя сюда новую переменную % , мы получаем

(5.5')

и, полагая, наконец, ещеm ξ = cos2u, мы без труда вычислим по­рученный интеграл (5.5')

Воспользуемся тем, что отношение меньше, единицы, и {разложим Uо и sin2 Uо в ряд по степеням (достаточно огра­ничиться двумя первыми членами). Тогда мы получим .

(5.7)

где υ – скорость вдали от ядра, равная . Итак, выражение для константы распада (5.3) раскрывается слёдующим образом:

(5.8)

или

(5.9)

Наиболее замечательным выводом из этой формула является зави­симость между λ и скоростью λ - частицы v. Подобная зависимость еще задолго до квантовой теории этого явления была установлёна на опыте Гайгером и Нэттолом.

Далее мы видим, что 1nλ зависит от номера элемента Z (Z = Z'— 2) и радиуса ядра.