Теперь можно приступить к доказательству теоремы Эйлера. Для ее доказательства выделим из графа G максимальное его дерево G*, обозначим за k - число «перемычек» (т.е. ребер графа G, не содержащихся в G*). Т.к. граф G* является деревом, то он не содержит ни одного контура, а, следовательно, он определяет на сфере лишь одну область (грань), и потому для него соотношение (1) справедливо. Далее, добавляя одну «перемычку», число ребер увеличивается на единицу, число вершин остается прежним, т.к. G* - максимальное дерево, т.е. оно содержит все вершины графа G; число граней увеличится на единицу за счет разбиения одной грани на две. Отсюда видно, что добавление одной «перемычки» не меняет соотношения (1). Значит и добавление k перемычек его не изменит. Т.е. граф G удовлетворяет соотношению (1).

Из теоремы Эйлера можно получить несколько интересных следствий.

Обозначим через n3 число треугольных граней выпуклого многогранника, через n4 - число его четырехугольных граней и т.д. Тогда соотношение один можно переписать так:

В=2+Р-(n3+n4+n5+ .). (3)

Т.к. каждое из ребер «принадлежит» ровно двум граням, то можно записать следующую формулу:

Р= (4)

В каждой вершине же сходится минимум три грани, т.е. каждой грани «принадлежит» максимум вершин, отсюда вытекает неравенство:

(5)

Объединяя (3), (4) и (5), получим

Умножая полученное на 6 и приводя подобные, получим:

причем равенство возможно только в том случае, когда в вершине сходятся три грани. В нашем случае, для идеальных фулеренов и для нанотрубок, запаянных с обоих концов это выполнено. Отсюда видно, что в состав них может входить ровно 12 пятиугольников.

Вторым следствием теоремы Эйлера является так называемая эйлерова характеристика поверхности.

Пусть Q — поверхность, которая допус­кает разбиение на многоугольники; это означает, что на поверхности можно «нарисовать» граф, разбивающий ее на конечное число кусков, гомеоморфных кругу. Обозначим число вершин и ребер графа через В и Р, а число многоугольников, на которые Q разбивается этим графом,— через Г. Число

X (Q) = В - Р + Г (6)

называется эйлеровой характеристикой поверхности Q. Строго говоря, число (6) определяется не самой поверхностью Q, а выбором ее разбиения на многоугольники. Однако теорема Эйлера показывает, что для поверхности Q, гомеоморфной сфере, эйлерова характеристика не зависит от выбора разбиения на многоугольники: Х(Q)=2. Докажем, что и для любой поверхности Q ее эйлерова характеристика Х(Q) не зависит от выбора разбиения на многоугольники, а определяется самой по­верхностью.

В самом деле, пусть на, поверхности Q «нарисованы» два графа G1, G2, каждый из которых задает разбиение на многоугольники. Числа вершин, ребер и граней разбиения, определяемого графом G1, обозначим через B1, Р1, Г1, а соответствующие числа для разбиения, определяемого графом G2,— через В2, Р2, Г2. Вообще говоря, графы G1 и G2 могут пересекаться в бесконечном числе точек. Однако, «пошевелив» граф G1, мы сможем добить­ся того, чтобы G1 и G2 пересекались лишь в конечном числе точек.

Далее, если граф G1G2 несвязен, то, «пошевелив» графы G1, G2, можно добиться того, чтобы они имели общие точки и, следовательно, их объединение было связным. Итак, мы можем предполагать, что графы G1 и G2 пересекаются лишь в конечном числе точек и имеют связ­ное объединение G1G2. Считая новыми вершинами все точки пересечения графов G1 и G2, а также все вершины этих графов, мы найдем, что G1G2 является конечным связным графом (его ребрами являются куски ребер графов G1 и G2, на которые они разбиваются вершинами графа G1G2).

Обозначим через В и Р число вершин и ребер графа G1G2, a через Г — число граней, на которые он разбивает поверхность Q. Идея состоит в том, чтобы доказать равенства