(7)

из которых и будет следовать, что B1-P1+Г1=B2-P2+Г2. Оба равенства (7) доказываются одинаково; докажем первое.

Пусть М - некоторый многоугольник («грань»), определяемый графом G1. Обозначим число вершин и ребер графа G1G2, расположенных внутри М (не на контуре), через В' и Р', а число вершин (а значит, и ребер) этого графа, расположенных на контуре многоугольника М, через q. Далее, число граней, определяемых графом G1G2 и содержащихся в М, обозначим через Г'. На рис. 4 имеем В'=4, Р'=12, Г'=9, q=15.

Вырежем теперь многоугольник М (вместе с имеющейся на нем частью графа G1G2) из поверхности Q. Так как М гомеоморфен кругу и, значит, полусфере, то его можно второй («нижней») полусферой дополнить до поверхности, гомеоморфной сфере (рис. 5). На этой сфере расположен связный граф, имеющий В'+q вершин, Р'+q ребер и определяющий Г'+1 граней (Г' граней содержится в М и еще одной гранью является нижняя полусфера). Следовательно, согласно (1), (В'+q)- (Р'+q)+(Г'+1)=2, т. е.

В'-Р'+Г=1. (8)

Если теперь (возвращаясь к поверхности Q, на которой начерчен граф G1G2) мы выбросим из графа G1G его часть, расположенную внутри М, то получится новый граф, для которого, однако, число В-Р+Г останется таким же, как и для графа G1G2. В самом деле, вместо В' вершин, Р' ребер и Г' граней, имевшихся внутри М, мы теперь будем иметь 0 вершин, 0 ребер и одну грань (сам многоугольник М), т. е. число В'-Р'+Г' заменится на 0-0+1, а это, согласно (8), ничего не меняет.

Рис. 4. Рис. 5.

Теперь ясно, что если мы из графа G1G2 выбросим его части, расположенные внутри всех многоуголь­ников, определяемых графом G1, то получим новый граф G*, для которого число В-Р+Г будет таким же, как и для графа G1G2 Иначе говоря,

В*-Р*+Г*=В-Р+Г (9)

где В* и Р* — число вершин и ребер графа G*, а Г* — число определяемых им граней.

Заметим, наконец, что граф G* получается из G1 до­бавлением нескольких новых вершин на ребрах. Добавление каждой новой вершины увеличивает число ребер на 1 (поскольку добавленная вершина разбивает одно из ребер на два). Следовательно, если переход от графа G1 к G* осуществляется добавлением k новых вершин, то В*=B1 + k1*P*=P1+k. Кроме того, Г*=Г1 (так как граф G* определяет те же грани, что и граф G1). Таким образом,

В*-Р*+Г*=(B1+k)-(P1+k)+Г1=В1-Р1+Г1,

а это, согласно (9), и дает первое из соотношений (7).

Итак эйлерова характеристика поверхности не зави­сит от ее разбиения на многоугольники, а определяется самой поверхностью. Кроме того, если поверх­ности Q1и Q2 гомеоморфны, то X(Q1)=Х(Q2).

Отсюда имеем еще одно следствие: т.к. эйлерова характеристика поверхности для незакрытой трубки равна нулю, то, рассуждая также как и в первом следствии, можно получить неравенство

Это соотношение плохо описывает идеальную нанотрубку, но для реальной нанотрубки с «дислокациями» оно качественно правильно.

Итак, в данной части работы была доказана теорема Эйлера, которая позволила нам теоретически доказать необходимость перестройки графитовой плоскости в случаях, когда реакции происходят с образованием фулеренов и запаянных нанотрубок, а также было найдено соотношение для многоугольников в случае, когда имеет место рассмотрение реальных нанотрубок с дефектами.

При использовании для получения нанотрубок электрической дуги с графитовым электродом образуются преимущественно многослойные нанотрубки, диаметр которых лежит в диапазоне от одного до нескольких десятков нанометров. Кроме того, такие нанотрубки отличаются различной хиральностью, что определяет различие их электронной структуры и электрических характеристик. Распределения нанотрубок по размерам и углу хиральности критическим образом зависят от условий горения дуги и не воспроизводятся от одного эксперимента к другому. Это обстоятельство, а также разнообразие размеров и форм нанотрубок, входящих в состав катодного осадка, не позволяет рассматривать данный материал как вещество с определенными свойствами. Частичное преодоление указанной проблемы стало возможным благодаря использованию процедуры обработки данного материала сильными окислителями. Методы очистки и обработки нанотрубок с помощью окислителей основан на том обстоятельстве, что реакционная способность протяженного графитового слоя, содержащего шестичленные графитовые кольца и составляющие поверхность нанотрубок, значительно меньше соответствующих характеристик для сфероидальной поверхности, содержащей также некоторое количество пятичленных колец.