Из всех неплоских зеркал мы рассмотрим только сферические, отражающая поверхность которых представляет собой внешнюю или внутреннюю часть сферы. Имеем вогнутое зеркало (рис.6). Середина С зеркала называется полюсом.

Рис.6.

Любой луч, упавший на зеркало через центр сферы (угол падения равен нулю), отразившись, пойдет по тому же направлению. Существует только одна точка О, удовлетворяющая этому условию. Она называется оптическим центром зеркала. Все прямые, проходящие через оптический центр, - оптические оси зеркала. Одна из оптических осей проходит через полюс С зеркала, это главная оптическая ось. Остальные оптические оси – побочные.

Пусть на зеркало в точку N падает луч, параллельный главной оптической оси. NO – радиус и, следовательно, перпендикуляр к сфере. Построив угол отражения равным углу падения, получим отраженный луч NF. Углы падения i и NOF равны, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей. Следовательно, треугольник NOF – равнобедренный, и ׀NF׀=׀FO׀.

Проведем дугу NK радиусом FN. Точка пересечения дуги с главной оптической осью не совпадает с точкой С, но близка к ней. Отрезок ׀СК׀ тем меньше, чем ближе SN к главной оптической оси. Ограничимся только параксиальными (приосевыми) пучками, с тем чтобы можно было считать пренебрежимо малым отрезок ׀СК׀«׀CF׀. Для таких пучков ׀CF׀=׀NF׀=׀FO׀, и точка F для всех параксиальных лучей лежит посередине радиуса СО. Эта точка называется главным фокусом зеркала (разумеется, есть фокусы и на всех остальных оптических осях – побочные). Итак, главный фокус вогнутого зеркала – точка, в которой после отражения пересекутся все параксиальные лучи, падающие параллельно главной оптической оси.

Аналогичные рассуждения и построения приведут нас к понятию мнимого главного фокуса выпуклого зеркала (рис.7). Расстояние от зеркала до главного фокуса называется фокусным расстоянием и обозначается F. Можно доказать, что все падающие из одной точки лучи после отражения от вогнутого зеркала проходят через одну точку – изображение (доказать это можно хотя бы построением; из-за приблизительности условия параксиальности это, конечно, не совсем точка, а небольшое пятно, для выпуклого зеркала – это точка пересечения продолжений всех отраженных лучей). Для построения такой точки достаточно каких-нибудь двух лучей. Луч, падающий параллельно главной оптической оси, после отражения пройдет через главный фокус (или продолжение отраженного луча пройдет через главный фокус – для выпуклого зеркала). По закону обратимости, луч, падающий через главный фокус, после отражения пойдет параллельно главной оптической оси. Наконец, луч, падающий через центр сферы, отразится по тому же направлению.

Рис.7.

При построении изображения точки в вогнутом зеркале (рис.8) намечают точки O, F, C, затем строят любые два из трех перечисленных лучей. Через точку пересечения отраженных лучей S1 пройдут и все остальные отраженные лучи – она является действительным изображением точки S. Построение изображения в выпуклом зеркале аналогично.

Рис.8.

Построим изображение предмета АВ в вогнутом зеркале (рис.9). Изображение А1 находим, как на рис.8. Построение изображения точки, расположенной на главной оптической оси, осуществляется так: проводим произвольный луч ВМ и параллельно ему соответствующую побочную ось OD; на середине расстояния OD расположен побочный фокус F1, через который пройдет отраженный от точки М луч. В качестве второго луча удобно выбрать луч, идущий вдоль главной оптической оси. Точка пересечения двух отраженных лучей – изображение В1.

Рис.9.

Обозначим расстояние от зеркала до предмета d=׀СВ׀; расстояние от зеркала до изображения f=|СB1|; фокусное расстояние F=׀CF׀≈׀KF׀. Из подобия треугольников А1В1F и NKF следует равенство

|A1B1|/|AB|=(f – F)/F;

аналогично, из подобия треугольников А1В1О и АВО

|A1B1|/|AB|=(2F – f)/(d – 2F).

Отсюда (f – F)/F=(2F – f)/(d – 2F).

2F2 – Ff=fd – Fd – 2Ff + 2F2

fF + Fd=fd