Пусть каждому собственному значению Е невозмущенного уравнения (66.2) принадлежит лишь одна собственная функция j , соответственно ¾ одна амплитуда с . Подставим в уравнение (66.11) ряда (66.14) и (66.15) и соберем члены с одинаковыми степенями параметра l

(67.1) Это представление уравнения (66.11) позволяет легко решить его методом последовательных приближений. Мы получим нулевое приближения, если положим l=0; тогда получаем

m = 1,2,3,…, k, … (67.2) Это ¾ уравнение для невозмущенной системы Н . Пусть нас интересует, как меняется уровень Е и собственная функция j под действием возмущения W. Тогда из решений (67.2) мы берем k-е:

(67.3) т.е. все с =0, кроме с =1.

Решение (67.3) мы будем называть решением в нулевом приближении. Это решение мы подставляем в уравнение (67.1) с тем, чтобы найти следующее, первое приближение. Подстановка дает

(67.4) где через 0(l ) обозначены члены порядка l и выше. Ограничиваясь первым приближением, мы должны считать эти члены малыми и отбросить их. Тогда получаем

(67.4') Если мы возьмем из этих уравнений уравнение номера m = k, то получим

(67.4'') Отсюда находим поправку к Е первого приближения:

(67.5) Из уравнений c m = k находим поправки к амплитудам c , именно, если m = k, то (67.4') дает

(67.4''') Отсюда

(67.6) Найдем теперь второе приближение; для этого следует учесть члены с l . Подставим первое приближение (67.5) и (67.6) в (67.1), тогда

(67.7) где через 0(l ) обозначены члены порядка l и выше. Пренебрегая этими членами, получим уравнения для определения Е и c (второе приближение). При этом уравнение номера m = k получается в виде

(67.7') Отсюда находим поправку к энергии во втором приближении:

(67.8) Из уравнений с m = k найдем c :

(67.9)

Эту процедуру можно продолжать и дальше, переходя ко все более и более высоким приближениям. Мы ограничимся вторым приближением и выпишем результат. Согласно (66.14), (66.15) и (67.3), (67.5), (67.6), (67.8) и (67.9) имеем

(67.10)

(67.11)

Из этих формул видно, что предположение о малости оператора W в сравнении с Н означает малость отношения

(67.12) при выполнении этого условия поправочные члены в (67.10) и (67.11) малы, и собственные значения Е оператора H и его собственные функции с (k) близки к собственным значениям и собственным функциям оператора Н . Условия (67.12) ¾ это условие применимости теории возмущений. На основании (66.10) это условие может быть записано также в виде

(67.13) где W суть матричные элементы оператора возмущения.

Пользуясь (66.4) и (67.6), а также (67.5), мы можем написать наше решение в "х"-представлении:

(67.14)

(67.15) Из последней формулы видно, что поправка к уровням в первом приближении равна среднему значению энергии возмущения в невозмущенном состоянии (j ).

Из условия пригодности метода теории возмущения (67.13) непосредственно видно, что успех приближенного расчета зависит от того, какой именно квантовый уровень мы рассчитываем. Так, например, в кулоновском поле разности энергий соседних уровней выражаются формулой При малых n эта величина может быть гораздо больше W . Для больших же n она стремится к нулю, как 1/n , и условие (67.13) может оказаться несоблюденным. Поэтому метод теории возмущений может быть пригодным для расчета поправок нижних квантовых уровней и непригодным для расчета поправок для высоких квантовых уровней. Это обстоятельство нельзя не иметь в виду при приложении теории возмущений к конкретным проблемам.